看了一圈，居然没有人提到这样一个方法. 那就由我来讲讲吧. （真的是很巧妙的一个方法.）
首先，我们知道
，于是我们就有
对上述不等式进行平方，可得
即
即
这表示
比
小，且将
作为
的近似值时，误差不超过
. 当然，这个结论就算不这样折腾一番你也能够轻松得到（毕竟
而
嘛），但别急，我们还没完.
对上述不等式再平方，有
即
即
这说明
比
大，且如果用
作为
的近似值，误差小于
.
将不等式
再平方，即有
即
这说明
，且误差小于
.
到了这里你应该已经能够看出一些端倪了. 如果还想知道
的更加精确的近似值，那么可以继续对不等式进行平方. 这里我们再演示一次：对
进行平方，有
即
这说明
且误差小于 250 万分之一，这已经是
的相当好的近似值了. 当然，如果你有兴趣，还可以把这种工作继续进行下去，这样就可以得到更加精确的近似值了.
实际上，上述方法对于求任何正数
的算术平方根
都是适用的. 具体说来，任取正数
，并设已知其与
的差距不超过（正数）
，即
两端平方，可得
整理可得
可以看到，当
（即
，或
）时，
是比
更好的关于
的近似值，且误差小于
. 此时，将
作为
再次进行上述操作，就可以得到更好的关于
的近似值. 可以证明，将这样的操作无限进行下去，所得关于
的近似值可以任意精确并无限接近于
的准确值.
更细致的描述如下. 设
是任意正数，其与
之差的绝对值不超过
. 那么，由
可得
记
，
，上式就可以写为
对上述不等式进行同样的操作，以
和
代入前面的
和
，并将所得到的新的
和
记作
和
. 再继续对新的不等式操作，可得
和
，乃至
和
（
）. 可以看到，有递推关系
它们满足
可以证明，当
时，所得到的一列数
将越来越接近
，该数列的极限也正是
. 故可使用
作为
的近似值.
更广泛地说，这其实可以认为是不动点迭代法，但由于我还不太熟，就不方便进行适用于任意情况的推广了.
有些地方可能有问题，如果有，可以评论指正. 看来我的数学水平还不够，sigh~
过了一晚上再来看，OMG，居然就这么多赞了？！我还真没预料到，哈哈，真是开心☺️
忘了说了，上面的这些方法是我在一本叫做《从根号 2 谈起》的数学科普书上了解到的. 这本书挺不错的，推荐阅读！
【2022 年 7 月 29 日 22 点 53 分】
修正了笔误“
”（好家伙都过了两个半月了才更正，我真是懒到家了）.